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Titelbild

Mehr Rot oder Grau?

Aufgabe

Malermeister Klecksel und sein Lehrling haben den Auftrag bekommen, eine riesengrosse Betonwand einer Fabrikfassade mit folgendem Muster zu verzieren.

Muster

Der Meister zeigt seinem Lehrling das Muster auf dem Plan und fragt ihn: "Sag mal, brauchen wir für dieses Muster mehr rote oder mehr graue Farbe?"

Darauf der Lehrling: "Oh, dazu müsste ich das alles erst genau ausmessen und dann noch meinen Taschenrechner hohlen."

"Ach papperlapapp. Um das zu beantworten braucht es doch kein genaues Abmessen und kein Rechenen. Gib mir mal deinen Bleistift und schau."

Wie findet der Meister heraus ob er mehr rote oder mehr graue Farbe braucht, nur mit Bleistift und Lineal?

Lösung

Meister Klecksel brauscht für das Muster gleich viel rote, wie graue Farbe.

Lösungsweg

Meister Klecksel hat sich folgendes überlegt.
Das Muster ist aus Viertelkreisen aufgebaut. Man muss also nur bestimmen, ob der graue, innere Kreis die grössere Fläche besitzt, als der rote, äussere Kreisring. Rechnerisch wäre das so zu lösen

Unter der Annahme, dass die beiden Flächen gleich gross sind, gilt folgendes.

R: Radius des ganzen Kreises (rot und grau)
r: Radius des inneren Kreises (grau)

π·r² = π·(R² - r²)
r² = R² - r²
2·r² = R²
r·√2 = R

Ist also der Radius des inneren, blauen Kreises um Wurzel zwei kleiner als der des äusseren Kreises, sind beide Flächen gleich gross.

Muster - Lösung

Meister Klecksel zieht nun mit dem Bleistift eine Linie von einer Ecke des Viertelkreises zur Anderen. Wenn diese durch den grauen Teil verläuft, ist die graue Fläche grösser. Wenn sie vollständig im roten Teil verläuft, dann ist die rote Fläche grösser. Wenn sie aber - wie im hier gezeigten Beispiel - genau den Rand zwischen rot und grau berührt, sind beide Flächen gleich gross. Das heisst r·√2 = R, was man auch unschwer erkennt, wenn man sich so einen Viertelkreis mit der eingezeichneten Linie ansieht.